Sejam a >= 0 e b >= 0 números reais. Mostre que
a<b Leftrightarrow a^2<b^2 Leftrightarrow raiza<raizb

Passo 1

O enunciado diz que a>=0 e b>=0 são números reais, e pede para mostrar que
a<b;Long<=ftrightarrow;a^2<b^2;Long<=ftrightarrow;raiza<raizb
O conteúdo aqui é usar o fato de que nas não-negativas as funções f(x)=x^2 e g(x)=raizx são estritamente crescentes, ou, de modo mais direto, usar fatoração de diferenças de quadrados e a definição de raiz quadrada.

Passo 2

Mostramos primeiro
a<b;Longrightarrow;a^2<b^2
Como a,b>=0 e a<b, temos
b-a>0 e b+a>=0
Multiplicando essas duas desigualdades, obtemos
(b-a)(b+a)>0 Longrightarrow b^2-a^2>0 Longrightarrow a^2<b^2
Para o recíproco, partimos de a^2<b^2, escrevemos
b^2-a^2=(b-a)(b+a)>0
Como b+a>=0, isso força b-a>0 e logo a<b. Assim concluímos
a<bLong<=ftrightarrow a^2<b^2

Passo 3

Agora mostramos
a^2<b^2;Long<=ftrightarrow;raiza<raizb
Basta notar que, para x>=0, raizx é a inversa de xmapsto x^2. Mais rigorosamente, defina u=raiza e v=raizb; então u,v>=0 e u^2=a, v^2=b. Pelo resultado do passo anterior, em não-negativas
u<vLong<=ftrightarrow u^2<v^2,
isto é,
raiza<raizb Long<=ftrightarrow a<b
Compondo tudo, obtemos a cadeia de equivalências desejada.

Resposta

a<b;Long<=ftrightarrow;a^2<b^2;Long<=ftrightarrow;raiza<raizb

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