Sejam
e
números reais. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
e
são números reais, e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é usar o fato de que nas não-negativas as funções
e
são estritamente crescentes, ou, de modo mais direto, usar fatoração de diferenças de quadrados e a definição de raiz quadrada.
Passo 2
Mostramos primeiro
Como
e
, temos
Multiplicando essas duas desigualdades, obtemos
Para o recíproco, partimos de
, escrevemos
Como
, isso força
e logo
. Assim concluímos
Passo 3
Agora mostramos
Basta notar que, para
,
é a inversa de
. Mais rigorosamente, defina
e
; então
e
,
. Pelo resultado do passo anterior, em não-negativas
isto é,
Compondo tudo, obtemos a cadeia de equivalências desejada.