Calcule a integral.
10. J(v)=\left(v^{3}-2 v\right)\left(v^{-4}+v^{-2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função J(v)=\bigl(v^{3}-2v\bigr)\bigl(v^{-4}+v^{-2}\bigr) e pede para calcular a integral (ou seja, encontrar uma primitiva) de J(v) em relação a v. Não há outros dados.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão antes de integrar. Para isso usamos a regra de potências na multiplicação: ao multiplicar potências de mesma base, somam-se os expoentes. Em palavras: \,v^{a}\cdot v^{b}=v^{a+b}\,. Essa é a ferramenta que permite distribuir e simplificar os termos do produto.

Passo 3

Distribuindo os termos do produto e aplicando a regra de potências termo a termo:
\begin{aligned} J(v)&=(v^{3})(v^{-4})+(v^{3})(v^{-2})+(-2v)(v^{-4})+(-2v)(v^{-2})\\[4pt] &=v^{3+(-4)}+v^{3+(-2)}-2v^{1+(-4)}-2v^{1+(-2)}. \end{aligned}]

Passo 4

Agora somamos os expoentes em cada termo:
v^{3+(-4)}=v^{-1},\qquad v^{3+(-2)}=v^{1},\qquad v^{1+(-4)}=v^{-3},\qquad v^{1+(-2)}=v^{-1}.
Substituindo:
J(v)=v^{1}+v^{-1}-2v^{-3}-2v^{-1}.
Agrupando os termos semelhantes (os de v^{-1}):
J(v)=v- v^{-1}-2v^{-3}.

Passo 5

Agora vamos integrar termo a termo. Lembrete da regra de integração das potências: para n\neq -1,
\int v^{n}\,dv=\frac{v^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Para o caso n=-1 a fórmula não vale; em vez disso
\int v^{-1}\,dv=\int\frac{1}{v}\,dv=\ln\lvert v\rvert + C.
Essas fórmulas vêm da diferenciação inversa: a derivada de \dfrac{v^{n+1}}{n+1} é v^{n} quando n\neq-1, e a derivada de \ln|v| é 1/v.

Passo 6

Aplicando as fórmulas aos termos de J(v)=v- v^{-1}-2v^{-3}:
\begin{aligned} \int v\,dv&=\frac{v^{2}}{2},\\[4pt] \int -v^{-1}\,dv&=-\ln\lvert v\rvert,\\[4pt] \int -2v^{-3}\,dv&=-2\cdot\frac{v^{-2}}{-2}=v^{-2}. \end{aligned}
Somando tudo e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva.]

Passo 7

A primitiva (a integral indefinida) é
\frac{v^{2}}{2}-\ln\lvert v\rvert + v^{-2}+C,
que também pode ser escrita como \dfrac{v^{2}}{2}-\ln\lvert v\rvert +\dfrac{1}{v^{2}}+C.

Resposta

\dfrac{v^{2}}{2}-\ln\lvert v\rvert+\dfrac{1}{v^{2}}+C

Exercícios relacionados