Calcule a integral.
3.
3.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos. Foi dada a função integrando
e a tarefa é calcular a integral indefinida
Ou seja, queremos encontrar uma função
tal que
.
Passo 2
Observação útil e ideia-chave (por que procurar uma forma com
). A derivada de uma função do tipo
, onde
é um polinômio, é
Portanto, se conseguirmos achar um polinômio
tal que
então teremos
ou seja
. Essa é uma técnica muito prática para integrais do tipo polinômio vezes
.
Passo 3
Escolha do grau de
e escrita com coeficientes desconhecidos. Como
é um polinômio de grau
, suponha que
seja também de grau
:
com
constantes a determinar. Calcule
:
Então
Passo 4
Igualando coeficientes com o polinômio dado. Queremos
Comparando coeficientes de cada potência de
Resolva passo a passo:
Substituindo em
em
:
Por fim, em
:
Logo
Passo 5
Escrevendo a primitiva e verificando. Pela construção temos
Verificação rápida (para ter certeza): diferencie
:
que é exatamente o integrando. Está correto.
Passo 6
Dica prática para a prova: sempre que encontrar
(com
polinômio), experimente a ansatz
com
polinômio do mesmo grau e resolva
. É mais rápido que fazer várias integrações por partes repetidas. Força aí — você consegue!