Calcule a integral.
3. f(x)=\left(x^{3}+2 x\right) e^{x}

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos. Foi dada a função integrando
f(x)=\left(x^{3}+2x\right)e^{x}
e a tarefa é calcular a integral indefinida
\int \left(x^{3}+2x\right)e^{x}\,dx.
Ou seja, queremos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\left(x^{3}+2x\right)e^{x}.

Passo 2

Observação útil e ideia-chave (por que procurar uma forma com e^{x}). A derivada de uma função do tipo e^{x}Q(x), onde Q(x) é um polinômio, é
\frac{d}{dx}\big(e^{x}Q(x)\big)=e^{x}Q(x)+e^{x}Q'(x)=e^{x}\big(Q(x)+Q'(x)\big).
Portanto, se conseguirmos achar um polinômio Q(x) tal que
Q(x)+Q'(x)=x^{3}+2x,
então teremos
\frac{d}{dx}\big(e^{x}Q(x)\big)=\left(x^{3}+2x\right)e^{x},
ou seja \int \left(x^{3}+2x\right)e^{x}\,dx=e^{x}Q(x)+C. Essa é uma técnica muito prática para integrais do tipo polinômio vezes e^{x}.

Passo 3

Escolha do grau de Q e escrita com coeficientes desconhecidos. Como x^{3}+2x é um polinômio de grau 3, suponha que Q seja também de grau 3:
Q(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,
com a,b,c,d constantes a determinar. Calcule Q'(x):
Q'(x)=3ax^{2}+2bx+c.
Então
Q(x)+Q'(x)=ax^{3}+(b+3a)x^{2}+(c+2b)x+(d+c).

Passo 4

Igualando coeficientes com o polinômio dado. Queremos
Q(x)+Q'(x)=x^{3}+0\cdot x^{2}+2x+0.
Comparando coeficientes de cada potência de x\) obtemos o sistema \[\begin{cases} a=1,\\[4pt] b+3a=0,\\[4pt] c+2b=2,\\[4pt] d+c=0. \end{cases}
Resolva passo a passo:
a=1.
Substituindo em b+3a=0\]: \[b+3\cdot 1=0 \quad\Rightarrow\quad b=-3.\] Substituindo \(b em c+2b=2:
c+2(-3)=2 \quad\Rightarrow\quad c-6=2 \quad\Rightarrow\quad c=8.
Por fim, em d+c=0:
d+8=0 \quad\Rightarrow\quad d=-8.
Logo
Q(x)=x^{3}-3x^{2}+8x-8.]

Passo 5

Escrevendo a primitiva e verificando. Pela construção temos
\int \left(x^{3}+2x\right)e^{x}\,dx = e^{x}Q(x)+C = e^{x}\big(x^{3}-3x^{2}+8x-8\big)+C.
Verificação rápida (para ter certeza): diferencie e^{x}Q(x):
\frac{d}{dx}\big(e^{x}Q(x)\big)=e^{x}\big(Q(x)+Q'(x)\big)=e^{x}\big(x^{3}+2x\big),
que é exatamente o integrando. Está correto.

Passo 6

Dica prática para a prova: sempre que encontrar \int P(x)e^{x}\,dx (com P polinômio), experimente a ansatz e^{x}Q(x) com Q polinômio do mesmo grau e resolva Q+Q'=P. É mais rápido que fazer várias integrações por partes repetidas. Força aí — você consegue!

Resposta

\displaystyle \int \left(x^{3}+2x\right)e^{x}\,dx = e^{x}\big(x^{3}-3x^{2}+8x-8\big)+C

Exercícios relacionados