Calcule a integral.
integral 11 x+22 x^2-5 x-3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional, então o conteúdo é decomposição em frações parciais e regras de integração de logaritmos. Vamos precisar fatorar o denominador e escrever a fração como soma de termos mais simples.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador 2x^2 -5x -3. Buscando raízes:
2x^2 -5x -3 = (2x+1)(x-3)

Passo 3

Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais:
11x+22x^2 -5x -3 = A2x+1 + Bx-3

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (2x+1)(x-3) e igualando coeficientes, temos:
11x+2 = A(x-3) + B(2x+1) = x(A+2B) + (-3A + B)

Passo 5

Comparando coeficientes de x e termo constante:
A + 2B = 11,
-3A + B = 2

Passo 6

Resolvendo o sistema, obtemos B = 5 e A = 1. Logo
11x+22x^2 -5x -3 = 12x+1 + 5x-3

Passo 7

Agora integramos termo a termo usando integral 1ax+bdx = 1aln|ax+b| + C:
integral 12x+1dx = 12ln|2x+1|,
integral 5x-3dx = 5ln|x-3|

Resposta

12ln|2x+1| + 5ln|x-3| + C

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