Calcule a integral.
integral 2 x^2-12 x+4x^3-4 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral2x^2-12x+4x^3-4x^2,dx. Isso é uma integral de função racional, então vamos usar decomposição em frações parciais: basta fatorar o denominador e escrever uma soma de termos mais simples.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador: x^3-4x^2=x^2(x-4)Assim fica claro que devemos decompor em termos sobre x, x^2 e x-4.

Passo 3

Propomos a forma de frações parciais:
2x^2-12x+4x^2(x-4)=Ax+Bx^2+Cx-4Multiplicando ambos os lados por x^2(x-4) obtemos:
2x^2-12x+4=A,x(x-4)+B(x-4)+C,x^2

Passo 4

Expandindo e agrupando coeficientes em potências de x:
A x^2-4A x+Bx-4B+Cx^2=(A+C)x^2+(-4A+B)x-4B
Comparando com 2x^2-12x+4 achamos o sistema:
A+C=2,-4A+B=-12,-4B=4
Da terceira equação vem B=-1. Substituindo na segunda: -4A-1=-12 A=11/4. E então C=2-A=-3/4.

Passo 5

Logo a decomposição é
2x^2-12x+4x^2(x-4)=11/4x-1x^2-3/4x-4
Agora integramos termo a termo, lembrando que
integral1x,dx=ln|x|,integral x^-2,dx=-x^-1,integral1x-4,dx=ln|x-4|

Passo 6

Fazendo as integrais:
integral11/4x,dx=114ln|x|,integrall(-1x^2r)dx=+1x,integrall(-3/4x-4r)dx=-34ln|x-4|
Somando tudo e incluindo a constante +C, temos a resposta final.

Resposta

114ln|x|-34ln|x-4|+1x+C

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