O enunciado pede pra calcular a integral . Isso é uma integral de função racional, então vamos usar decomposição em frações parciais: basta fatorar o denominador e escrever uma soma de termos mais simples.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador:Assim fica claro que devemos decompor em termos sobre , e .
Passo 3
Propomos a forma de frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por obtemos:
Passo 4
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de :
Comparando com achamos o sistema:
Da terceira equação vem B=-1. Substituindo na segunda: -4A-1=-12 dá A=11/4. E então C=2-A=-3/4.
Passo 5
Logo a decomposição é
2x^2-12x+4x^2(x-4)=11/4x-1x^2-3/4x-4
Agora integramos termo a termo, lembrando que integral1x,dx=ln|x|,integral x^-2,dx=-x^-1,integral1x-4,dx=ln|x-4|
Passo 6
Fazendo as integrais:
integral11/4x,dx=114ln|x|,integrall(-1x^2r)dx=+1x,integrall(-3/4x-4r)dx=-34ln|x-4|
Somando tudo e incluindo a constante +C, temos a resposta final.