O enunciado pede pra calcular a integral . Isso é integração de função racional: vamos usar decomposição em frações parciais pra depois integrar termo a termo.
Passo 2
Começamos supondo que a fração possa ser escrita como soma de três termos simples:
Passo 3
Multiplicamos pelos fatores do denominador e obtemos uma identidade em :
Expandindo cada termo e coletando coeficientes em , e constante, chegamos ao sistema:
Passo 4
Resolvendo esse sistema, por exemplo substituindo B=4-A-C na segunda e terceira equações, vemos que
A=8, B=-3, C=-1
Assim a integranda vira 8x-1-3x+5-1x+3
Passo 5
Agora integramos cada termo separadamente, usando integral 1x-a,dx=ln|x-a|+C:
integral 8x-1,dx = 8ln|x-1|,integral -3x+5,dx = -3ln|x+5|,integral -1x+3,dx = -ln|x+3|