Calcule a integral.
integral 4 x^2+54 x+134(x-1)(x+5)(x+3) d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral integral 4x^2+54x+134(x-1)(x+5)(x+3),dx. Isso é integração de função racional: vamos usar decomposição em frações parciais pra depois integrar termo a termo.

Passo 2

Começamos supondo que a fração possa ser escrita como soma de três termos simples:
4x^2+54x+134(x-1)(x+5)(x+3) = Ax-1 + Bx+5 + Cx+3

Passo 3

Multiplicamos pelos fatores do denominador e obtemos uma identidade em x:
4x^2+54x+134 = A(x+5)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(x+5)
Expandindo cada termo e coletando coeficientes em x^2, x e constante, chegamos ao sistema:
A+B+C=4,8A+2B+4C=54,15A-3B-5C=134

Passo 4

Resolvendo esse sistema, por exemplo substituindo B=4-A-C na segunda e terceira equações, vemos que
A=8, B=-3, C=-1
Assim a integranda vira
8x-1-3x+5-1x+3

Passo 5

Agora integramos cada termo separadamente, usando integral 1x-a,dx=ln|x-a|+C:
integral 8x-1,dx = 8ln|x-1|,integral -3x+5,dx = -3ln|x+5|,integral -1x+3,dx = -ln|x+3|

Passo 6

Juntando tudo, a primitiva é
8ln|x-1| - 3ln|x+5| - ln|x+3| + C

Resposta

8\ln|x-1| - 3\ln|x+5| - \ln|x+3| + C

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