Calcule a integral.
Passo 1
O problema é calcular a integral de uma função racional:
. Vamos usar fatoração do denominador e frações parciais.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador como um produto de quadrados perfeitos. Note que
Passo 3
Em seguida fazemos a decomposição em frações parciais. Suponha que
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, obtemos o sistema
Resolvendo, achamos
A=1, B=0, C=-1, D=1 .
Passo 4
Logo podemos reescrever a integral como
Passo 5
Agora calculamos cada parte separadamente:
-
. Basta usarintegral xx^2+1,dx , de modo queu=x^2+1 , levando adu=2x,dx
-
. Do mesmo jeito, comintegral -xx^2+4,dx eu=x^2+4 , obtemosdu=2x,dx
-
. Reconhecemos a formaintegral 1x^2+4,dx . Aquiintegral 1x^2+a^2dx = 1aarctan(tfracxa) , entãoa=2
Passo 6
Somando os resultados, a integral vale