Calcule a integral.
integral x^2+3 x+1x^4+5 x^2+4 d x

Passo 1

O problema é calcular a integral de uma função racional: integral x^2+3x+1x^4+5x^2+4,dx. Vamos usar fatoração do denominador e frações parciais.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador como um produto de quadrados perfeitos. Note que
x^4+5x^2+4 = (x^2+1)(x^2+4)

Passo 3

Em seguida fazemos a decomposição em frações parciais. Suponha que
x^2+3x+1(x^2+1)(x^2+4) = Ax+Bx^2+1 + Cx+Dx^2+4
Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)(x^2+4) e igualando coeficientes, obtemos o sistema
A + C = 0, B + D = 1, 4A + C = 3, 4B + D = 1
Resolvendo, achamos A=1, B=0, C=-1, D=1.

Passo 4

Logo podemos reescrever a integral como
integral xx^2+1,dx + integral -x+1x^2+4,dx

Passo 5

Agora calculamos cada parte separadamente:
  1. integral xx^2+1,dx. Basta usar u=x^2+1, de modo que du=2x,dx, levando a
integral xx^2+1,dx = 12 ln(x^2+1)
  1. integral -xx^2+4,dx. Do mesmo jeito, com u=x^2+4 e du=2x,dx, obtemos
integral -xx^2+4,dx = -12 ln(x^2+4)
  1. integral 1x^2+4,dx. Reconhecemos a forma integral 1x^2+a^2dx = 1aarctan(tfracxa). Aqui a=2, então
integral 1x^2+4,dx = 12arctanl(tfracx2r)

Passo 6

Somando os resultados, a integral vale
12 ln(x^2+1) - 12 ln(x^2+4) + 12 arctanl(tfracx2r) + C

Resposta

12 lnx^2+1x^2+4 , + 12 arctan!l(tfracx2r) + C

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