Calcule a integral
integral 11+x^2 d x
Dica: Utilizando a mudança de variáveis

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 11+x^2,dx. O conteúdo é de primitivas de funções racionais e conhecimento de derivada de funções trigonométricas inversas. Vamos usar substituição de variáveis baseada em arctan(x).

Passo 2

Escolhemos a mudança de variável u=arctan(x). Essa escolha vem do fato de sabermos que a derivada de arctan(x) é ddxl[arctan(x)r]=11+x^2.

Passo 3

Calculamos du:
du=11+x^2,dx. Logo podemos reescrever
dx1+x^2=du.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
integral du, que é uma integral imediata. Integrando, temos
u + C.

Resposta

arctan(x)+C

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