Encontre o Domínio a Imagem e faça o gráfico de cada funções abaixo
f(x)=1x-1

Passo 1

Estamos estudando a função racional f(x)=1x-1. O conteúdo envolve análise de domínio, imagem e esboço de gráfico de uma hipérbole, para o qual vamos usar a definição de função racional, critérios de denominador não nulo, estudo de limites para encontrar assíntotas e comportamento dos ramos.

Passo 2

Para achar o domínio, exigimos que o denominador seja diferente de zero, ou seja, x-1neq0. Isso implica xneq1. Logo,
Dom(f)=(-infty,1)cup(1,infty)

Passo 3

Para encontrar a imagem, igualamos y=1x-1. Não há solução para y=0, pois 1/(x-1) nunca é zero. Assim, todos os valores reais diferentes de zero são atingidos, e temos
Im(f)=(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 4

Agora vamos estudar os limites que revelam as assíntotas e o comportamento dos ramos. Temos assíntota vertical em x=1 e horizontal em y=0. Mais precisamente:
limxto1^+!f(x)=+infty, limxto1^-!f(x)=-infty, limxto+infty!f(x)=0^+, limxto-infty!f(x)=0^-

Passo 5

Com isso, o gráfico é uma hipérbole equilátera com duas curvas: uma no primeiro quadrante (para x>1, decrescente de +infty a 0^+) e outra no terceiro quadrante (para x<1, crescente de -infty a 0^-), tendo assíntotas em x=1 e y=0.

Resposta

Domínio: ( -infty,1)cup(1,infty); Imagem: ( -infty,0)cup(0,infty); Gráfico: hipérbole com assíntota vertical em x=1 e horizontal em y=0, com ramos no 1º e 3º quadrantes.

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