Encontre o Domínio a Imagem e faça o gráfico de cada funções abaixo
f(x)=raiz2 x^2+3

Passo 1

Estamos analisando a função f(x)=√(2x²+3), que é um exemplo de função com raiz quadrada (função radical). Para resolver precisamos lembrar que o que está dentro da raiz deve ser não negativo (domínio) e que o valor da raiz é sempre maior ou igual a zero (imagem), além de esboçar o comportamento gráfico.

Passo 2

Para encontrar o domínio, impomos que o radicando seja ≥0: 2x^2+3 ≥ 0. Como 2x^2 é sempre ≥0 para todo x, temos 2x^2+3 ≥3 >0 para qualquer x real. Logo, não há restrição de x e o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Para determinar a imagem (contradomínio efetivo), observamos que o menor valor de 2x^2+3 ocorre em x=0, valendo 3. Portanto, o menor valor de f(x) é √3. Como a raiz cresce sem limite quando |x|→∞, a imagem é o intervalo [√3, ∞).

Passo 4

No gráfico, f(x)=√(2x²+3) é uma curva simétrica em relação ao eixo y, com ponto de mínimo em (0,√3) e que cresce para +∞ conforme x→±∞. Basta esboçar o ponto (0,√3) e traçar duas “pernas” que sobem suave e continuamente para os lados.

Resposta

Domínio: (-∞, ∞)
Imagem: [√3, ∞)
Gráfico: curva simétrica em y, mínimo em (0,√3) e crescendo para +∞ quando x→±∞.

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