Exercício 1

Avalie a convergência da série sum (-1)^n n^2(n+1)^2.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a convergência da série alternante sumn=1^infty (-1)^n n^2(n+1)^2. O conteúdo principal é análise de séries numéricas, em particular séries alternantes, e vamos usar o teste da divergência (condição necessária de convergência) e o critério de Leibniz.

Passo 2

Para aplicar o teste da divergência, calculamos o limite do termo geral em módulo. Note que o termo geral é an = (-1)^n bn com bn = n^2(n+1)^2. Temos:
limntoinfty bn = limntoinfty n^2(n+1)^2 = 1
Como bnto1 quando ntoinfty, o termo geral an = (-1)^n bn não tende a zero (ele oscila entre valores próximos de 1 e -1).

Passo 3

Pela condição necessária de convergência de séries, se o termo geral não tende a zero, a série diverge. O critério de Leibniz também não se aplica porque a sequência (bn) não tende a zero nem é monótona decrescente até zero.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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