Calcule a integral
integral 1a^2+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 1a^2+x^2 , dx. Esse exercício tá relacionado ao cálculo integral, mais especificamente a integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar conhecer uma fórmula básica para integrar esse tipo de função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que existe uma fórmula de integral que diz que:
integral 1a^2+x^2 , dx = 1a arctan(xa) + C
Isso porque a derivada da função arctan(x) é 11+x^2. No nosso caso, temos a^2 + x^2 no denominador, então precisamos ajustar um pouquinho.

Passo 3

Para adaptar essa fórmula ao nosso caso, fazemos uma mudança de variável. Vamos definir:
u = xa
Assim, x = a cdot u e dx = a cdot du. Substituindo na integral, ficamos com:
integral 1a^2+x^2 , dx = integral 1a^2 + (a cdot u)^2 cdot a , du

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da integral:
a^2 + (a cdot u)^2 = a^2(1 + u^2)
Então, a integral fica:
integral 1a^2(1 + u^2) cdot a , du = 1a integral 11 + u^2 , du

Passo 5

Agora, lembrando da fórmula básica que mencionamos no Passo 2, sabemos que:
integral 11 + u^2 , du = arctan(u) + C
Então, substituindo de volta:
1a cdot arctan(u) + C = 1a cdot arctan(xa) + C

Resposta

A integral integral 1a^2+x^2 , dx é igual a 1a arctan(xa) + C.

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