Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular a integral e interpretá-la como a área sob a curva da função no intervalo de a . Esse conteúdo envolve integração de valor absoluto e interpretação geométrica de área.
Passo 2
Para lidar com o valor absoluto, identificamos onde é não negativo ou negativo: em e em . Assim, podemos escrever:
$$
\int_{0}^{2\pi}|\cos(x)|,dx
Somando os resultados de cada parte, obtemos 1+2+1=4.
Passo 5
Geometricamente, essa integral representa a área da região limitada pela curva y=|cos(x)|, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=2pi. Cada “pulso” de |cos(x)| contribui com área 1 ou 2, totalizando área 4.
O esboço da região mostra o gráfico de y=|cos(x)| oscilando entre 0 e 1, com dois arcos positivos em [0,tfracpi2] e [tfrac3pi2,2\pi] e dois arcos negativos refletidos para cima em [tfracpi2,tfrac3pi2], formando ondulações simétricas. No eixo x, a área está preenchida até a curva.