Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
integral0^2 pi|cos (x)| d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral integral0^2pi|cos(x)|,dx e interpretá-la como a área sob a curva da função y=|cos(x)| no intervalo de 0 a 2pi. Esse conteúdo envolve integração de valor absoluto e interpretação geométrica de área.

Passo 2

Para lidar com o valor absoluto, identificamos onde cos(x) é não negativo ou negativo: cos(x)>=0 em [0,tfracpi2]cup[tfrac3pi2,2pi] e cos(x)<=0 em [tfracpi2,tfrac3pi2]. Assim, podemos escrever:
$$
\int_{0}^{2\pi}|\cos(x)|,dx

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x),dx
+
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}-\cos(x),dx
+
\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi}\cos(x),dx
.$$

Passo 3

Agora, calcule cada integral separadamente:
integral0^pi2cos(x),dx =sin(x)|0^pi2 =1,
integralpi2^3pi2-cos(x),dx =-sin(x)|pi2^3pi2 =-l(sin(tfrac3pi2)-sin(tfracpi2)r) =2,
integral3pi2^2picos(x),dx =sin(x)|pi2^2pi =1

Passo 4

Somando os resultados de cada parte, obtemos 1+2+1=4.

Passo 5

Geometricamente, essa integral representa a área da região limitada pela curva y=|cos(x)|, pelo eixo x e pelas retas x=0 e x=2pi. Cada “pulso” de |cos(x)| contribui com área 1 ou 2, totalizando área 4.
O esboço da região mostra o gráfico de y=|cos(x)| oscilando entre 0 e 1, com dois arcos positivos em [0, tfracpi2] e [ tfrac3pi2,2\pi] e dois arcos negativos refletidos para cima em [ tfracpi2, tfrac3pi2], formando ondulações simétricas. No eixo x, a área está preenchida até a curva.

Resposta

4

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