Determine o comprimento de arco das seguinte curvas:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o comprimento de arco da curva definida pelas funções paramétricas $ x(t) = t \cos(t) $ e $ y(t) = t \sin(t) $, onde $ t $ varia de $ 0 $ até $ \pi $. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de curvas paramétricas do cálculo, que envolve uma integral baseada nas derivadas das funções que definem a curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $. Ou seja, vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Passo 3
Vamos derivar $ x(t) = t \cos(t) $. Usando a regra do produto (que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $):
Agora, derivamos $ y(t) = t \sin(t) $ da mesma forma:
Passo 4
Em seguida, calculamos o quadrado das derivadas e somamos:
Passo 5
Vamos expandir os termos:
Observa que os termos $ -2t \sin(t) \cos(t) $ e $ +2t \sin(t) \cos(t) $ se cancelam. Então sobra:
E sabemos que $ \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 $, então:
Passo 6
Agora, o comprimento do arco $ L $ é dado por:
Essa integral é uma forma padrão que podemos resolver usando substituição trigonométrica ou tabelas de integrais. A solução é:
Calculando nos limites de integração:
Sabendo que $ \sinh^{-1}(0) = 0 $, simplificamos para:
Resposta
Calculando os valores numéricos:
Portanto, o comprimento do arco da curva no intervalo dado é aproximadamente 6,07 unidades.