Determine o comprimento de arco das seguinte curvas:
x(t)=t cos (t), y(t)=t sen(t), 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar o comprimento de arco da curva definida pelas funções paramétricas $ x(t) = t \cos(t) $ e $ y(t) = t \sin(t) $, onde $ t $ varia de $ 0 $ até $ \pi $. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco de curvas paramétricas do cálculo, que envolve uma integral baseada nas derivadas das funções que definem a curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $. Ou seja, vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.

Passo 3

Vamos derivar $ x(t) = t \cos(t) $. Usando a regra do produto (que diz que a derivada de $ u \cdot v $ é $ u’ \cdot v + u \cdot v’ $):
x(t) = t cos(t)
Agora, derivamos $ y(t) = t \sin(t) $ da mesma forma:
u cdot v

Passo 4

Em seguida, calculamos o quadrado das derivadas e somamos:
( dxdt )^2 + ( dydt )^2 = ( cos(t) - t sin(t) )^2 + ( sin(t) + t cos(t) )^2

Passo 5

Vamos expandir os termos:
(cos(t))^2 - 2t sin(t) cos(t) + t^2 (sin(t))^2 + (sin(t))^2 + 2t sin(t) cos(t) + t^2 (cos(t))^2
Observa que os termos $ -2t \sin(t) \cos(t) $ e $ +2t \sin(t) \cos(t) $ se cancelam. Então sobra:
-2t sin(t) cos(t)
E sabemos que $ \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 $, então:
+2t sin(t) cos(t)

Passo 6

Agora, o comprimento do arco $ L $ é dado por:
L
Essa integral é uma forma padrão que podemos resolver usando substituição trigonométrica ou tabelas de integrais. A solução é:
L = integral0^pi raiz1 + t^2 , dt
Calculando nos limites de integração:
L = t2 raiz1 + t^2 + 12 sinh^-1(t) gr|0^pi
Sabendo que $ \sinh^{-1}(0) = 0 $, simplificamos para:
L = pi2 raiz1 + pi^2 + 12 sinh^-1(pi) - (0 + 12 sinh^-1(0))

Resposta

Calculando os valores numéricos:
L approx 3.14162 times raiz1 + (3.1416)^2 + 12 times 1.7627
L approx 3.14162 times raiz10.8696 + 0.8814
L approx 3.14162 times 3.2966 + 0.8814
L approx 1.5708 times 3.2966 + 0.8814
L approx 5.1859 + 0.8814
L approx 6.0673 unidades
Portanto, o comprimento do arco da curva no intervalo dado é aproximadamente 6,07 unidades.

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