Determine as equações da reta tangente às seguintes curvas:
gamma(t)=(2 t^3-1,3-5 t^2, 8 t+2) no ponto (1,-2,10)

Passo 1

O enunciado pede para determinar as equações da reta tangente à curva paramétrica gamma(t)=l(2t^3-1,,3-5t^2,,8t+2r) no ponto (1,-2,10). O conteúdo usado será derivada de curva paramétrica para achar o vetor direção e em seguida montar a equação da reta.

Passo 2

Para encontrar o parâmetro t0 tal que gamma(t0)=(1,-2,10), resolvemos o sistema:
2t^3-1=1,
3-5t^2=-2,
8t+2=10

Passo 3

Da primeira equação vem 2t^3=2 logo t^3=1 e t=1. As outras equações conferem com t=1, então t0=1.

Passo 4

A derivada da curva é
gamma'(t)=l(6t^2,,-10t,,8r)

Passo 5

Avaliando em t=1 obtemos o vetor direção da reta tangente:
gamma'(1)=(6,-10,8)

Passo 6

Por fim, a equação vetorial da reta tangente, usando parâmetro s, é montada a partir do ponto (1,-2,10) e do vetor direção $(6,-10,8).

Resposta

r(s)=l(1,-2,10r)+s,(6,-10,8)

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