Calcule a integral
integral 1cos (x) d x
Dica: Utilize as relações trigonométricas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 1cos x,dx. Isso envolve integração de funções trigonométricas, em especial usar a definição sec x = 1cos x e as derivadas de sec x e tan x.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando como sec x e então multiplicar e dividir por (sec x + tan x). Assim temos:
integral sec x,dx = integral sec x,(sec x + tan x)sec x + tan x,dx = integral sec^2 x + sec x,tan xsec x + tan x,dx

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u = sec x + tan x. Sabendo que
ddx(sec x) = sec x,tan x, ddx(tan x) = sec^2 x,
segue que
dudx = sec x,tan x + sec^2 x

Passo 4

Observe que o numerador da integral
integral sec^2 x + sec x,tan xsec x + tan x,dx
é exatamente du/dx. Logo podemos fazer a substituição u = sec x + tan x e du = (sec x,tan x + sec^2 x),dx, transformando a integral em
integral duu

Passo 5

A integral de integral 1u,du é
lnl|ur| + C
Voltando à variável original, temos
lnl|sec x + tan xr| + C

Resposta

lnl|sec x + tan xr| + C

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