Exercício 2

Determine o valor de sumn=2^infty 1e^3 n+1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor da série infinita sumn=2^infty 1e^3n+1. O conteúdo envolvido é séries geométricas infinitas, e vamos precisar da fórmula de soma S=a1-r para |r|<1.

Passo 2

Observe que o termo geral pode ser reescrito extraindo e^-1:
1e^3n+1=e^-(3n+1)=e^-1cdotl(e^-3r)^n
Dessa forma, identificamos uma série geométrica em n com razão r=e^-3 e um fator constante e^-1.

Passo 3

Aplicando a soma de uma série geométrica a partir de n=2:
sumn=2^inftyl(e^-3r)^n=(e^-3)^21-e^-3=e^-61-e^-3

Passo 4

Agora basta multiplicar pelo fator e^-1:
S=e^-1cdote^-61-e^-3=e^-71-e^-3

Resposta

e^-71 - e^-3

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