Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $ em relação a $ x $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo integrais que envolvem funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar conhecer a antiderivada dessa função, que está relacionada à função arco seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $ é uma forma padrão conhecida. Essa expressão se relaciona diretamente com a derivada da função arco seno. A fórmula básica que vamos usar é:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 3
Vamos entender por que isso funciona. A derivada de $ \arcsin(x) $ é exatamente $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $. Ou seja, se derirmos $ \arcsin(x) $, voltamos à função original dentro da integral. Isso confirma que a antiderivada de $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $ é $ \arcsin(x) $.
Passo 4
Então, aplicando essa antiderivada diretamente à nossa integral, temos:
Pronto! Isso nos dá a solução geral para a integral.
Resposta
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} $ em relação a $ x $ é:
onde $ C $ é a constante de integração.