Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
integral0^1 2 raiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: integral0^1 2 raiz1-x^2 , dx. O enunciado pede para calcular essa integral e interpretá-la como a área de uma região, além de esboçar essa região. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e geometria, especialmente sobre áreas de círculos.

Passo 2

Primeiro, observe a função dentro da integral: 2 raiz1 - x^2. Essa função se parece com a equação de um círculo. Lembra que a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem é x^2 + y^2 = 1. Se isolarmos y, temos y = raiz1 - x^2 para a parte superior do círculo.

Passo 3

Então, $ \sqrt{1 - x^{2}} $ representa a metade de cima de um círculo com raio 1. A função raiz1 - x^2 é simplesmente o dobro disso, ou seja, a altura completa do círculo em cada ponto 2 raiz1 - x^2.

Passo 4

Integrar essa função de 0 a 1 significa calcular a área sob a curva 2 raiz1 - x^2 entre x = 0 e x = 1. Como é metade direita do círculo completo (de x = -1 a x = 1), estamos calculando a área de um quarto de círculo multiplicado por 2, ou seja, metade do círculo.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral0^1 2 raiz1 - x^2 , dx
Sabemos que a área de um círculo completo com raio r é $ \pi r^{2} $. Aqui, pi r^2 , então a área total é $ \pi $.

Passo 6

Como estamos calculando metade do círculo (daí o 2 na função), a área será:
pi2

Resposta

A integral integral0^1 2 raiz1-x^2 , dx é igual a pi2. Essa área corresponde à metade de um círculo de raio 1, ou seja, um semicírculo.

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