Calcule a integral e interprete-a como a área de uma região. Esboce a região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. O enunciado pede para calcular essa integral e interpretá-la como a área de uma região, além de esboçar essa região. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais e geometria, especialmente sobre áreas de círculos.
Passo 2
Primeiro, observe a função dentro da integral:
. Essa função se parece com a equação de um círculo. Lembra que a equação de um círculo de raio 1 centrado na origem é
. Se isolarmos
, temos
para a parte superior do círculo.
Passo 3
Então, $ \sqrt{1 - x^{2}} $ representa a metade de cima de um círculo com raio 1. A função
é simplesmente o dobro disso, ou seja, a altura completa do círculo em cada ponto
.
Passo 4
Integrar essa função de 0 a 1 significa calcular a área sob a curva
entre
e
. Como é metade direita do círculo completo (de
a
), estamos calculando a área de um quarto de círculo multiplicado por 2, ou seja, metade do círculo.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Sabemos que a área de um círculo completo com raio
é $ \pi r^{2} $. Aqui,
, então a área total é $ \pi $.
Passo 6
Como estamos calculando metade do círculo (daí o 2 na função), a área será:
Resposta
A integral
é igual a
. Essa área corresponde à metade de um círculo de raio 1, ou seja, um semicírculo.