Calcule
integral 1raiz7+6 x-x^2 d x ; forall x<7, x in R+.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1raiz7 + 6x - x^2,dx,
sabendo que x<7 e x>0. Vamos usar a técnica de completar quadrado para reduzir ao tipo padrão
integral duraiza^2-u^2, cuja primitiva é arcsinl(u/ar)+C.

Passo 2

Complete o quadrado em 7+6x - x^2:
7 + 6x - x^2 = -(x^2 - 6x - 7) = -l((x-3)^2 - 16r) = 16 - (x-3)^2

Passo 3

Faça a substituição
u = x - 3, du = dx
A integral passa a ser
integral duraiz16 - u^2

Passo 4

Usamos a fórmula padrão
integral duraiza^2-u^2 = arcsin!l(tfracuar) + C,
com a=4. Assim,
integral duraiz16 - u^2 = arcsin!l(tfracu4r) + C

Passo 5

Voltando a x (isto é, u=x-3), obtemos
integral dxraiz7 + 6x - x^2 = arcsin!l(tfracx-34r) + C

Resposta

arcsin!l(tfracx-34r) + C

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