1. Resolva o problema de valor inicial
y^prime=(1+3 x^2) /(3 y^2-6 y), y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y'=1+3x^23y^2-6y, y(0)=1
Isso é um problema de valor inicial de uma equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos usar a técnica de separação de variáveis e depois aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Escrevendo y'=dydx e separando as variáveis y e x, obtemos
dydx=1+3x^23y^2-6y Longrightarrow (3y^2-6y),dy=(1+3x^2),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral(3y^2-6y),dy=integral(1+3x^2),dx
No lado esquerdo,
integral3y^2,dy=y^3, integral(-6y),dy=-3y^2,
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integral(3y^2-6y),dy=y^3-3y^2
No lado direito,
integral1,dx=x, integral3x^2,dx=x^3,
então
integral(1+3x^2),dx=x+x^3 + C
Juntando,
y^3-3y^2 = x + x^3 + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em
y^3-3y^2 = x + x^3 + C
1^3 - 3cdot1^2 = 0 + 0 + C Longrightarrow 1 - 3 = C Longrightarrow C=-2

Passo 5

Substituindo C=-2 na relação obtida, temos a solução implícita do problema de valor inicial:
y^3 - 3y^2 = x + x^3 - 2

Resposta

boxedy^3 - 3y^2 = x + x^3 - 2

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