Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada? As operações, no caso, são a adição e a multiplicação usuais, restritas a cada um dos conjuntos dados.
; multiplicação
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
com a operação de multiplicação usual forma um grupo. Para isso, vamos usar a definição de grupo, que exige verificar quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.
Passo 2
Verificamos primeiro três propriedades básicas da multiplicação restrita a
:
- Fechamento: se
, então . - Associatividade: a multiplicação é associativa em todos os inteiros, logo vale para
. - Elemento neutro: o número
satisfaz para todo , e .
Passo 3
Falta agora a existência de inversos. Num grupo, para cada
deve haver
tal que
. Mas se, por exemplo,
, o único
que satisfaz
é
, que não pertence a
. Portanto nem todos os elementos têm inverso em
.
Resposta
O par
não é grupo, pois faltam inversos para
em
.