Quais dos conjuntos abaixo são grupos em relação à operação indicada? As operações, no caso, são a adição e a multiplicação usuais, restritas a cada um dos conjuntos dados.
Z+; multiplicação

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto Z+=1,2,3,dots com a operação de multiplicação usual forma um grupo. Para isso, vamos usar a definição de grupo, que exige verificar quatro propriedades: fechamento, associatividade, existência de elemento neutro e existência de inversos.

Passo 2

Verificamos primeiro três propriedades básicas da multiplicação restrita a Z+:
  1. Fechamento: se a,binZ+, então acdot binZ+.
  2. Associatividade: a multiplicação é associativa em todos os inteiros, logo vale para Z+.
  3. Elemento neutro: o número 1 satisfaz 1cdot a=acdot1=a para todo ainZ+, e 1inZ+.

Passo 3

Falta agora a existência de inversos. Num grupo, para cada ainZ+ deve haver binZ+ tal que acdot b=1. Mas se, por exemplo, a=2, o único b que satisfaz 2cdot b=1 é b=tfrac12, que não pertence a Z+. Portanto nem todos os elementos têm inverso em Z+.

Resposta

O par l(Z+,,cdotr) não é grupo, pois faltam inversos para 2,3,dots em Z+.

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