Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso:
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial
x dy + (x y + 2 y − 2 e^{−x}) dx = 0
com condição inicial y(1)=0. Esse problema é de primeira ordem e linear em y, e vamos usar fator integrante para resolver.
x dy + (x y + 2 y − 2 e^{−x}) dx = 0
com condição inicial y(1)=0. Esse problema é de primeira ordem e linear em y, e vamos usar fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro passamos a equação para a forma padrão dy/dx + P(x)
y = Q(x). Dividindo tudo por x e por dx, obtemos
y = Q(x). Dividindo tudo por x e por dx, obtemos
Passo 3
Calculamos o fator integrante
Passo 4
Multiplicamos a equação pela fator integrante e reconhecemos que o lado esquerdo é derivada de μ y:
Integrando ambos os lados:
Passo 5
Isolamos y:
Aplicando a condição inicial y(1)=0:
Logo
y = e^{-x} - e^{-x} x^{-2} = e^{-x}\Bigl(1 - \frac{1}{x^2}\Bigr).
y = e^{-x} - e^{-x} x^{-2} = e^{-x}\Bigl(1 - \frac{1}{x^2}\Bigr).
Passo 6
O domínio de definição exige x≠0 e, como usamos y(1)=0, o intervalo natural é x>0.
Resposta
y(x) = e^{-x}\Bigl(1 - \frac{1}{x^2}\Bigr), definida para x>0.