Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso: x d y+(x y+2 y-2 e^-x) d x=0 com y(1)=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
x dy + (x y + 2 y − 2 e^{−x}) dx = 0
com condição inicial y(1)=0. Esse problema é de primeira ordem e linear em y, e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro passamos a equação para a forma padrão dy/dx + P(x)
y = Q(x). Dividindo tudo por x e por dx, obtemos
dydx + l(1 + 2xr)y = 2 e^-xx

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integrall(1 + tfrac2xr)dxr) = exp(x + 2ln|x|) = e^x x^2

Passo 4

Multiplicamos a equação pela fator integrante e reconhecemos que o lado esquerdo é derivada de μ y:
ddxl(e^x x^2 yr) = e^x x^2 cdot 2 e^-xx = 2x
Integrando ambos os lados:
e^x x^2 y = integral 2x,dx = x^2 + C

Passo 5

Isolamos y:
y = x^2 + Ce^x x^2 = e^-x + C e^-x x^-2
Aplicando a condição inicial y(1)=0:
0 = e^-1 + C e^-1 implies C = -1
Logo
y = e^{-x} - e^{-x} x^{-2} = e^{-x}\Bigl(1 - \frac{1}{x^2}\Bigr).

Passo 6

O domínio de definição exige x≠0 e, como usamos y(1)=0, o intervalo natural é x>0.

Resposta

y(x) = e^{-x}\Bigl(1 - \frac{1}{x^2}\Bigr), definida para x>0.

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