Calcule a integral:
integral 1x(x^2+1)^2 d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral integral 1x(x^2+1)^2,dx. O conteúdo aqui é integração de funções racionais usando decomposição em frações parciais.

Passo 2

Para usar frações parciais, escrevemos
1x(x^2+1)^2=Ax+Bx+Cx^2+1+Dx+E(x^2+1)^2

Passo 3

Multiplicando pelos denominadores e comparando coeficientes de potências de x, chegamos ao sistema
1=A(x^2+1)^2+(Bx+C)x(x^2+1)+(Dx+E)x

Passo 4

Expandindo e igualando coeficientes de x^4,x^3,x^2,x, e termo constante, obtemos
A=1, B=-1, C=0, D=-1, E=0

Passo 5

Com isso, reescrevemos a integral como
integral1x(x^2+1)^2dx=integrall(1x-xx^2+1-x(x^2+1)^2r)dx

Passo 6

Agora, integramos cada parte:
integral1xdx=ln|x|,
integralxx^2+1dx=12ln(x^2+1),
integralx(x^2+1)^2dx=-12(x^2+1)

Passo 7

Somando os resultados com os sinais correspondentes, obtemos a forma geral da antiderivada.

Resposta

ln|x| - tfrac12ln(x^2+1) + tfrac12(x^2+1) + C.

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