Calcule
integral 21+raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcularmos:
integral 21+raizx , dx
Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente técnicas de substituição para simplificar o integrando. Precisamos identificar uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Para isso, fazemos uma substituição. Vamos chamar . Isso ajuda a transformar a integral em termos de , facilitando a resolução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar u = 1 + raizx implies dudx = 12raizx implies du = 12raizx , dx , que é a derivada de dx = 2raizx , du em relação a . Temos:
Queremos expressar em termos de , então rearranjamos:

Passo 4

Substituímos integral 2u cdot 2raizx , du = integral 4raizxu , du e raizx = u - 1 na integral original:
integral 4(u - 1)u , du = integral (4 - 4u) , du
Mas, como , podemos isolar :
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
integral 4 , du - integral 4u , du = 4u - 4ln|u| + C
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original 4(1 + raizx) - 4ln|1 + raizx| + C = 4 + 4raizx - 4ln(1 + raizx) + C substituindo :

Resposta

A integral calculada é:
4 + 4raizx - 4ln(1 + raizx) + C

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