Calcule
integral 3x^2-4 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral . Esse exercício envolve conceitos de cálculo integral, mais especificamente a técnica de frações parciais para integrar funções racionais. Vamos precisar desmembrar a fração e usar logaritmos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) . Perceba que isso é uma diferença de quadrados, então podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos expressar 3(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 como uma soma de frações parciais:

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 3 = A(x + 2) + B(x - 2) , obtemos:

Passo 5

Agora, vamos resolver para 3 = A(2 + 2) + B(2 - 2) implies 3 = 4A implies A = 34 e 3 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2) implies 3 = -4B implies B = -34 . Escolhemos valores de que simplificam a equação:
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Substituindo 3x^2 - 4 = 3/4x - 2 - 3/4x + 2 e na fração original:

Passo 7

Agora, podemos integrar termo a termo:
integral 3x^2-4 , dx = 34 integral 1x - 2 , dx - 34 integral 1x + 2 , dx

Passo 8

Sabemos que 34 ln|x - 2| - 34 ln|x + 2| + C . Aplicando isso:

Resposta

A integral é igual a .

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