l Maximizar F(x, y, z, a, b, c)=x a+y b+z c x^2+y^2+z^2=1 a^2+b^2+c^2=1

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função F(x,y,z,a,b,c)=x a+y b+z c sob as restrições de que (x,y,z) e (a,b,c) são vetores unitários, ou seja, x^2+y^2+z^2=1 e a^2+b^2+c^2=1. O conteúdo principal é produto escalar de vetores e vamos usar a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

A desigualdade de Cauchy–Schwarz afirma que para quaisquer vetores u e v em R^n vale
ucdot v<=|u|,|v| Aqui podemos interpretar u=(x,y,z) e v=(a,b,c). Como ambas as normas valem 1, temos:
x a+y b+z c=(x,y,z)cdot(a,b,c)<=|(x,y,z)|,|(a,b,c)|=1cdot1=1

Passo 3

A igualdade em Cauchy–Schwarz ocorre exatamente quando os vetores são paralelos, ou seja, (x,y,z)=lambda(a,b,c). Mas como ambos são unitários, isso força lambda=1 ou lambda=-1. Para maximizar, escolhemos lambda=1, logo
(x,y,z)=(a,b,c)
é a condição de otimalidade.

Passo 4

Portanto, o valor máximo de F é alcançado quando os dois vetores coincidem e esse valor máximo é 1.

Resposta

O valor máximo de F(x,y,z,a,b,c) é 1, obtido quando (x,y,z)=(a,b,c).

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