Calcule a integral.
22. \int_{1}^{3}\left(1+2 x-4 x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de um polinômio no intervalo [1,3]. O conteúdo aqui é a integração de cada termo de acordo com a regra do poder:
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).

Passo 2

Vamos encontrar a primitiva F(x) de f(x)=1+2x-4x^3 aplicando a integração termo a termo:
\int 1\,dx = x,\qquad \int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^2}{2}=x^2,\qquad \int (-4x^3)\,dx = -4\cdot\frac{x^4}{4} = -x^4.
Logo,
F(x)=x + x^2 - x^4.

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar de 1 a 3:
\int_{1}^{3}(1+2x-4x^3)\,dx = F(3)-F(1).
Calculando:
F(3)=3 + 3^2 - 3^4 = 3 + 9 - 81 = -69,
F(1)=1 + 1^2 - 1^4 = 1 + 1 - 1 = 1.
Portanto,
\int_{1}^{3}(1+2x-4x^3)\,dx = -69 - 1 = -70.

Resposta

-70

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