Calcule a integral.
(27.) \int_{0}^{\pi}\left(5 e^{x}+3 \operatorname{sen} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi}\bigl(5e^{x}+3\sin x\bigr)\,dx.
Estamos trabalhando com técnicas de integração de funções elementares, usando a linearidade da integral e antiderivadas de e^{x} e \sin x.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade da integral, podemos separar em duas integrais:
\int_{0}^{\pi}\bigl(5e^{x}+3\sin x\bigr)\,dx =\int_{0}^{\pi}5e^{x}\,dx \;+\;\int_{0}^{\pi}3\sin x\,dx.

Passo 3

Calculamos cada antiderivada:
  • Para 5e^{x}, temos
\int 5e^{x}\,dx = 5e^{x} + C.
  • Para 3\sin x, lembrando que \frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x, obtemos
\int 3\sin x\,dx = -3\cos x + C.

Passo 4

Agora montamos a primitiva da integranda completa e avaliamos de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}\bigl(5e^{x}+3\sin x\bigr)\,dx =\Bigl[\,5e^{x} - 3\cos x\Bigr]_{0}^{\pi}.

Passo 5

Calculamos nos limites:
  • Em x=\pi:
5e^{\pi} - 3\cos(\pi) =5e^{\pi} - 3\cdot(-1) =5e^{\pi} + 3.
  • Em x=0:
5e^{0} - 3\cos(0) =5\cdot1 - 3\cdot1 =5 - 3 =2.
Subtraindo,
\bigl(5e^{\pi} + 3\bigr) \;-\; 2 =5e^{\pi} + 1.

Resposta

5e^{\pi} + 1

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