A cubic block of side l and mass density \rho per unit volume is floating in a fluid of mass density \rho_{0} per unit volume, where \rho_{0}>\rho. If the block is slightly depressed and then released, it oscillates in the vertical direction. Assuming that the viscous damping of the fluid and air can be neglected, derive the differential equation of motion and determine the period of the motion.
Hint: Use Archimedes { }^{12} principle: an object that is completely or partially submerged in a fluid is acted on by an upward (buoyant) force equal to the weight of the displaced fluid.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco cúbico de aresta l e densidade de massa \rho flutuando num fluido de densidade \rho_{0}>\rho. Ao deslocá-lo verticalmente e soltar, ele oscila sem amortecimento. Vamos usar o Princípio de Arquimedes e a Segunda Lei de Newton para obter a equação de movimento e o período da oscilação.

Passo 2

Determinar a imersão de equilíbrio. Seja h_{0} a profundidade submersa em equilíbrio. Pelo princípio de Arquimedes, o peso do bloco é igual ao peso do fluido deslocado:
\rho\,l^{3}\,g \;=\;\rho_{0}\,g\,(l^{2}h_{0})
Cancelando g e isolando h_{0}, obtém-se
h_{0}=\frac{\rho}{\rho_{0}}\,l.

Passo 3

Deslocamento em torno do equilíbrio. Seja x(t) o deslocamento vertical do bloco medido positivo para cima a partir da posição de equilíbrio. Quando o bloco se eleva um pouco, o volume submerso diminui em l^{2}x, e a força de empuxo varia em
\Delta F_{e}=-\rho_{0}\,g\,(l^{2}x)
(negativo porque, se x>0, o empuxo diminui).

Passo 4

Equação de Newton. Adotando positivo para cima, a força líquida sobre o bloco é apenas essa variação de empuxo (o peso cancela com o empuxo de equilíbrio). Assim,
m\,\ddot x=\Delta F_{e} \quad\Longrightarrow\quad \rho\,l^{3}\,\ddot x=-\rho_{0}\,g\,l^{2}\,x.

Passo 5

Reescrevendo em forma padrão:
\ddot x+\frac{\rho_{0}\,g}{\rho\,l}\;x=0.

Passo 6

Identificamos um MHS com
\omega^{2}=\frac{\rho_{0}\,g}{\rho\,l} \quad\text{e}\quad T=\frac{2\pi}{\omega} =2\pi\sqrt{\frac{\rho\,l}{\rho_{0}\,g}}.

Resposta

Equação de movimento:
\ddot x+\frac{\rho_{0}\,g}{\rho\,l}\,x=0.
Período da oscilação:
T=2\pi\sqrt{\frac{\rho\,l}{\rho_{0}\,g}}.

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