A cubic block of side
and mass density
per unit volume is floating in a fluid of mass density
per unit volume, where
. If the block is slightly depressed and then released, it oscillates in the vertical direction. Assuming that the viscous damping of the fluid and air can be neglected, derive the differential equation of motion and determine the period of the motion.
Hint: Use Archimedes
principle: an object that is completely or partially submerged in a fluid is acted on by an upward (buoyant) force equal to the weight of the displaced fluid.
Hint: Use Archimedes
Passo 1
O enunciado descreve um bloco cúbico de aresta
e densidade de massa
flutuando num fluido de densidade
. Ao deslocá-lo verticalmente e soltar, ele oscila sem amortecimento. Vamos usar o Princípio de Arquimedes e a Segunda Lei de Newton para obter a equação de movimento e o período da oscilação.
Passo 2
Determinar a imersão de equilíbrio. Seja
a profundidade submersa em equilíbrio. Pelo princípio de Arquimedes, o peso do bloco é igual ao peso do fluido deslocado:
Cancelando
e isolando
, obtém-se
Passo 3
Deslocamento em torno do equilíbrio. Seja
o deslocamento vertical do bloco medido positivo para cima a partir da posição de equilíbrio. Quando o bloco se eleva um pouco, o volume submerso diminui em
, e a força de empuxo varia em
(negativo porque, se
, o empuxo diminui).
Passo 4
Equação de Newton. Adotando positivo para cima, a força líquida sobre o bloco é apenas essa variação de empuxo (o peso cancela com o empuxo de equilíbrio). Assim,
Passo 5
Reescrevendo em forma padrão:
Passo 6
Identificamos um MHS com
Resposta
Equação de movimento:
Período da oscilação: