Calcule a integral.
22. \int_{0}^{1}\left(1-8 v^{3}+16 v^{2}\right) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de
\int_{0}^{1}\bigl(1 - 8v^{3} + 16v^{2}\bigr)\,dv.
O conteúdo é integração de polinômios, e vamos usar a regra
\int v^{n}\,dv = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Encontramos um antiderivado F(v) de 1 - 8v^{3} + 16v^{2}:
F(v) = \int \bigl(1 - 8v^{3} + 16v^{2}\bigr)\,dv = v - 8\cdot\frac{v^{4}}{4} + 16\cdot\frac{v^{3}}{3} = v - 2v^{4} + \frac{16}{3}v^{3}.

Passo 3

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliando em 0 e 1:
\int_{0}^{1}\bigl(1 - 8v^{3} + 16v^{2}\bigr)\,dv = F(1) - F(0) = \Bigl(1 - 2\cdot1^{4} + \tfrac{16}{3}\cdot1^{3}\Bigr) - 0 = 1 - 2 + \frac{16}{3} = -1 + \frac{16}{3} = \frac{13}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{3}

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