Construa a tábua da multiplicação do anel de integridade cujo conjunto de elementos A=\{a, b, c\} admitindo-se que a seja o zero e b a anuidade do anel e c o restante elemento.

Passo 1

O enunciado pede a tábua de multiplicação de um anel de integridade cujo conjunto de elementos é \{a,b,c\}, em que \,a é o elemento zero e \,b é a unidade multiplicativa. Como é um anel de integridade finito não trivial, ele é obrigatoriamente um corpo finito. Como há três elementos, o anel é isomorfo ao corpo \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, onde podemos identificar
a\longleftrightarrow0,\quad b\longleftrightarrow1,\quad c\longleftrightarrow2.

Passo 2

Em qualquer anel, o zero é o elemento absorvente para a multiplicação. Logo, para todo x\in\{a,b,c\},
a\cdot x = a \quad\text{e}\quad x\cdot a = a.

Passo 3

Também temos que b é a unidade, de modo que para todo x\in\{a,b,c\},
b\cdot x = x \quad\text{e}\quad x\cdot b = x.

Passo 4

Resta calcular c\cdot c. Na identificação com \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}, c\leftrightarrow2 e
2\cdot2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}
portanto
c\cdot c = b.

Resposta

A tábua de multiplicação fica:
\begin{array}{c|ccc} \cdot & a & b & c\\hline a & a & a & a\\\ b & a & b & c\\\ c & a & c & b \end{array}

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