Resolva o sistema de equações \left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=1 \\\\ 4 x+6 y=2\end{array}\right. no anel \mathbb{Z}_{7}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear em \mathbb{Z}_7:
\begin{cases} 3x + 2y = 1,\\\\ 4x + 6y = 2. \end{cases}
O conteúdo aqui é aritmética modular num corpo de característica prima e resolução de sistemas lineares por combinação de equações.

Passo 2

Em \mathbb{Z}_7, todo elemento não nulo tem inverso. Vamos eliminar x combinando as equações. Primeiro, observamos que o inverso de 2 em \mathbb{Z}_7 é 4, pois 2\cdot4=8\equiv1\pmod7.

Passo 3

Multiplicamos a primeira equação por 2:
2\cdot(3x + 2y) = 2\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad 6x + 4y = 2.
Agora subtraímos essa equação da segunda:
(4x + 6y) - (6x + 4y) = 2 - 2 \quad\Longrightarrow\quad -2x + 2y = 0.

Passo 4

Em \mathbb{Z}_7, -2\equiv5. Assim
2y = 2x
e multiplicando ambos os lados por \mathrm{inv}(2)=4 obtemos
y = x.

Passo 5

Substituindo y = x na primeira equação 3x + 2y = 1
3x + 2x = 1 \quad\Longrightarrow\quad 5x = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \mathrm{inv}(5)\cdot1 = 3,
pois o inverso de 5 em \mathbb{Z}_7 é 3. Logo y = x = 3.

Resposta

(x,y) = (3,3) em \mathbb{Z}_7.

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