Calcule a integral de
f(x, y)=4 x^2+8 y^2
sobre o disco unitário (x, y): x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=4x^2+8y^2 sobre o disco unitário x^2+y^2<=1. Isso é conteúdo de integrais duplas em coordenadas polares, e vamos precisar usar a definição do elemento de área em polares e as fórmulas trigonométricas para cos^2 e sin^2.

Passo 2

Como estamos integrando sobre um disco, é mais fácil passar para coordenadas polares: fazemos x=rcostheta e y=rsintheta. O elemento de área fica dA=r,dr,dtheta e a região vira 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. Então o integrando fica
4x^2+8y^2=4r^2cos^2theta+8r^2sin^2theta=r^2l(4cos^2theta+8sin^2thetar)

Passo 3

A integral dupla transforma-se em duas integrais separadas:
$$\int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}r2\bigl(4\cos2\theta+8\sin2\theta\bigr),r,dr,d\theta=\left(\int_{0}{1}r3,dr\right)\left(\int_{0}{2\pi}\bigl(4\cos2\theta+8\sin2\theta\bigr)d\theta\right).
$$

Passo 4

Calculamos a parte radial:
integral0^1r^3,dr=14r^4|0^1=14

Passo 5

Agora a parte angular. Sabemos que integral0^2picos^2theta,dtheta=integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi. Então
integral0^2pil(4cos^2theta+8sin^2thetar)dtheta=4pi+8pi=12pi

Passo 6

Multiplicando as duas partes, a integral total é
14times12pi=3pi

Resposta

3pi

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