Considere a região R=[1,2] times[1,2]. Calcule a integral
integral duplaR x yraizx^2+y^2-1 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função $ \frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2} - 1}} $ sobre a região $ R = [1, 2] \times [1, 2] $. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais duplas e fazer algumas substituições para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Ou seja, vamos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $. Ficaria assim:
x

Passo 3

Vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a $ x $:
x
Para resolver isso, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar $ u = x^{2} + y^{2} - 1 $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
integral1^2 xyraizx^2 + y^2 - 1 , dx

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral xyraizu cdot du2x = y2 integral 1raizu , du
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{u}} $ em relação a $ u $ é $ 2\sqrt{u} $, então:
1raizu
Voltando para $ u = x^{2} + y^{2} - 1 $, e aplicando os limites de integração de $ x = 1 $ a $ x = 2 $:
u
Simplificando:
2raizu

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa em relação a $ y $:
y
Vamos calcular cada parte separadamente.
Para a primeira integral, fazemos outra substituição: seja $ z = y^{2} + 3 $, então $ dz = 2y , dy $ ou $ y , dy = \frac{dz}{2} $. Assim:
integral1^2 y[ raizy^2 + 3 - y ] , dy = integral1^2 yraizy^2 + 3 , dy - integral1^2 y^2 , dy
Voltando para $ y $:
z = y^2 + 3
Aplicando os limites de $ y = 1 $ a $ y = 2 $:
dz = 2y , dy
Sabendo que $ 7^{3/2} = 7\sqrt{7} $ e $ 4^{3/2} = 8 $, temos:
y , dy = dz2
Agora, para a segunda integral:
integral yraizy^2 + 3 , dy = 12 integral raizz , dz = 12 cdot 23 z^3/2 = 13 z^3/2 + C

Resposta

Juntando tudo, a integral dupla é:
13 (7raiz7 - 8) - 73 = 7raiz7 - 153
Portanto, o valor final da integral é:
7raiz7 - 153 approx 1,17

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