Considere a região
. Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! A gente precisa calcular a integral dupla da função $ \frac{xy}{\sqrt{x^{2} + y^{2} - 1}} $ sobre a região $ R = [1, 2] \times [1, 2] $. Para isso, vamos precisar usar o cálculo de integrais duplas e fazer algumas substituições para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Ou seja, vamos integrar primeiro em relação a $ x $ e depois em relação a $ y $. Ficaria assim:
Passo 3
Vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a $ x $:
Para resolver isso, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar $ u = x^{2} + y^{2} - 1 $. Então, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
A integral de $ \frac{1}{\sqrt{u}} $ em relação a $ u $ é $ 2\sqrt{u} $, então:
Voltando para $ u = x^{2} + y^{2} - 1 $, e aplicando os limites de integração de $ x = 1 $ a $ x = 2 $:
Simplificando:
Passo 5
Agora, substituímos isso na integral externa em relação a $ y $:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Para a primeira integral, fazemos outra substituição: seja $ z = y^{2} + 3 $, então $ dz = 2y , dy $ ou $ y , dy = \frac{dz}{2} $. Assim:
Voltando para $ y $:
Aplicando os limites de $ y = 1 $ a $ y = 2 $:
Sabendo que $ 7^{3/2} = 7\sqrt{7} $ e $ 4^{3/2} = 8 $, temos:
Agora, para a segunda integral:
Resposta
Juntando tudo, a integral dupla é:
Portanto, o valor final da integral é: