Calcule os limites caso existam, fazendo ( x, y ) tenderem a (0,0), se não existir mostre através de caminhos a sua inexistência.
f(x, y)=r^3 y^2y^2+4 y^2

Passo 1

Temos que calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0), em que f(x,y)=dfracr^3y^2y^2+4y^2. O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares, em que x=rcostheta e y=rsintheta, para analisar o comportamento de f quando rto0.

Passo 2

Em coordenadas polares substituímos y=rsintheta. O numerador fica
r^3y^2 = r^3(rsintheta)^2 = r^5sin^2theta
e o denominador é
y^2+4y^2 = 5y^2 = 5(rsintheta)^2 = 5r^2sin^2theta

Passo 3

Logo, em pontos onde sinthetaneq0,
$$f(r,\theta)=\frac{r5\sin2\theta}{5r2\sin2\theta} = \frac{r^3}{5}.
$$
Quando f(r,theta)=r^5sin^2theta5r^2sin^2theta = r^35 (eixo sintheta=0), temos x e portanto y=0, que coincide com f(x,0)=0 avaliado em r^3/5.

Passo 4

Como r^3/5to0 quando rto0, concluímos que o valor de f(x,y) tende a 0 independentemente do caminho seguido.
Assim, o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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