Calcule
integral 2raiz4-x^2

Passo 1

Nesse exercício, a gente vai calcular a integral indefinida
integral 2raiz4 - x^2,dx
O conteúdo aqui é integrais de funções com raiz quadrada do tipo raiza^2 - x^2, e vamos usar substituição trigonométrica para resolver.

Passo 2

Vamos usar a substituição x = 2sintheta. Aí:
dx = 2costheta,dtheta, raiz4 - x^2 = raiz4 - 4sin^2theta = 2costheta
Substituindo na integral, fica:
integral 22costheta cdot 2costheta,dtheta = integral 2,dtheta

Passo 3

Agora é só integrar em theta:
integral 2,dtheta = 2theta + C
Aqui C é a constante de integração.

Passo 4

Por fim, voltamos a x usando theta = arcsinl(tfracx2r). Logo a primitiva é
2arcsinl(tfracx2r) + C

Resposta

2\arcsin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C

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