Calcule integral(1,0,0)^(2,1,0)(2 x y z^3+2 y) d x+(x^2 z^3+2 x) d y+(3 x^2 y z^2+2 z) d z

Passo 1

Resumindo o enunciado: Precisamos calcular a integral de linha de um campo vetorial dado pela expressão
integral(1,0,0)^(2,1,0)(2 x y z^3+2 y) dx + (x^2 z^3+2 x) dy + (3 x^2 y z^2+2 z) dz
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha no espaço tridimensional.
O que vamos precisar para resolver: Entender como parametrizar o caminho entre os pontos dados e simplificar a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Parametrizando o caminho: Vamos considerar uma trajetória reta que vai de x = 1 + t y = 0 + t z = 0 para t in [0,1] até . Podemos parametrizar essa linha usando um parâmetro que varia de 0 a 1.
Por que fazemos isso? Parametrizar o caminho nos permite expressar , e em termos de , facilitando o cálculo da integral.

Passo 3

Calculando as derivadas: Vamos derivar as expressões de dx = dxdt dt = 1 cdot dt = dt dy = dydt dt = 1 cdot dt = dt dz = dzdt dt = 0 cdot dt = 0 , e em relação a :

Passo 4

Substituindo na integral: Agora, substituímos integral0^1 [2(1 + t)(t)(0)^3 + 2t] dt + [(1 + t)^2(0)^3 + 2(1 + t)] dt + [3(1 + t)^2 t (0)^2 + 2(0)] cdot 0 , integral0^1 [0 + 2t] dt + [0 + 2(1 + t)] dt + [0 + 0] cdot 0 = integral0^1 (2t + 2 + 2t) dt , , , e na integral original:
Simplificando: Como ao longo do caminho, todas as parcelas que envolvem ou , se tornam zero.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da integral:
2t + 2 + 2t = 4t + 2
Então, a integral fica:
integral0^1 (4t + 2) dt

Passo 6

Calculando a integral:
integral (4t + 2) dt = 2t^2 + 2t + C
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
[2(1)^2 + 2(1)] - [2(0)^2 + 2(0)] = (2 + 2) - (0 + 0) = 4

Resposta

O valor da integral é 4.

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