Seja f uma função que satisfaz a seguinte propriedade: Existe uma constante K in R tal que |f(x)-f(y)| <= K|x-y| para todos os x, y in R. Sabendo que f(2)=7 determine lim x 2 f(x).

Passo 1

O enunciado diz que existe uma constante real K tal que |f(x)-f(y)| <= K|x-y| para todos x,yin R, e que f(2)=7. Queremos calcular limxto2f(x). O conteúdo envolvido é a condição de Lipschitz e sua ligação com continuidade e limites.

Passo 2

A condição |f(x)-f(2)| <= K|x-2| mostra que, dado qualquer varepsilon>0, basta escolher de (como K>0) para garantir que se |x-2| então |f(x)-f(2)|. Isso é exatamente a definição de continuidade de f em x=2.

Passo 3

Como f é contínua em 2, temos limxto2f(x)=f(2).

Resposta

7

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