Dada a função phi(x, y, z)=x^2 y z^3+2 x y+z^2, mostre que r o t F=0 onde F=nabla phi.

Passo 1

A questão pede para mostrar que o rotor de F é nulo, onde F é o gradiente de φ. O conteúdo é cálculo vetorial (gradiente e rotor) e vamos usar definições de derivadas parciais e a fórmula do rotor em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, calculamos o vetor F = ∇φ. Como φ(x,y,z)=x²yz³+2xy+z², temos
F=nablaphi=(partialxphi,;partialyphi,;partialzphi)=(2xy z^3+2y,;x^2z^3+2x,;3x^2yz^2+2z)

Passo 3

Para a primeira componente do rotor, usamos
(nablatimes F)1=partialy Fz-partialz Fy
Como F_z=3x²y z²+2z,
partialy Fz=3x^2z^2
E como F_y=x²z³+2x,
partialz Fy=3x^2z^2
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(nablatimes F)1=3x^2z^2-3x^2z^2=0

Passo 4

Para a segunda componente,
(nablatimes F)2=partialz Fx-partialx Fz
Como F_x=2xy z³+2y,
partialz Fx=6xy z^2,
e como F_z=3x²y z²+2z,
partialx Fz=6xy z^2Assim
(nablatimes F)2=6xy z^2-6xy z^2=0

Passo 5

Finalmente, a terceira componente é
(nablatimes F)3=partialx Fy-partialy FxTemos F_y=x²z³+2x e F_x=2xy z³+2y, então
partialx Fy=2xz^3+2, partialy Fx=2xz^3+2,portanto
(nablatimes F)3=2xz^3+2-(2xz^3+2)=0

Resposta

O rotor de F é o vetor nulo: nablatimes F=(0,0,0).

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