Dada a função
, mostre que
onde
.
Passo 1
A questão pede para mostrar que o rotor de F é nulo, onde F é o gradiente de φ. O conteúdo é cálculo vetorial (gradiente e rotor) e vamos usar definições de derivadas parciais e a fórmula do rotor em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, calculamos o vetor F = ∇φ. Como φ(x,y,z)=x²yz³+2xy+z², temos
Passo 3
Para a primeira componente do rotor, usamos
Como F_z=3x²y z²+2z,
E como F_y=x²z³+2x,
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Passo 4
Para a segunda componente,
Como F_x=2xy z³+2y,
e como F_z=3x²y z²+2z,
Passo 5
Finalmente, a terceira componente é
Resposta
O rotor de F é o vetor nulo:
.