Calcule a integral.
integral 37-11 x(x+1)(x-2)(x-3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular (\displaystyle\int \frac{37-11x}{(x+1)(x-2)(x-3)},dx. O conteúdo é decomposição em frações parciais para integrar uma função racional e vamos precisar encontrar coeficientes de frações parciais e depois integrar cada termo separadamente.

Passo 2

Vamos escrever a função racional como soma de frações simples:
37-11x(x+1)(x-2)(x-3) = Ax+1 + Bx-2 + Cx-3
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x-2)(x-3) obtemos a igualdade de polinômios:
37-11x = A(x-2)(x-3) + B(x+1)(x-3) + C(x+1)(x-2)
Expandindo e agrupando termos em potências de x, igualamos coeficientes e chegamos ao sistema:
A + B + C = 0, -5A - 2B - C = -11, 6A - 3B - 2C = 37

Passo 3

Da primeira equação segue C = -A - B. Substituindo nas outras duas:
4A + B = 11,
8A - B = 37

Passo 4

Resolvendo esse sistema encontramos A=4, B=-5 e C=1. Com esses coeficientes, a integral fica:
integral37-11x(x+1)(x-2)(x-3),dx = integrall(4x+1 - 5x-2 + 1x-3r),dx

Passo 5

Agora integramos termo a termo usando integraldxx-a = ln|x-a|:
4ln|x+1| - 5ln|x-2| + ln|x-3| + C

Resposta

4\ln|x+1| - 5\ln|x-2| + \ln|x-3| + C

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