Calcule a integral.
integral 2 x^3+10 x(x^2+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral2x^3+10x(x^2+1)^2,dx. O conteúdo aqui é integração de funções racionais, e vamos usar decomposição do integrando junto com substituição do tipo u = x^2+1.

Passo 2

Perceba que podemos separar o numerador: 2x^3+10x(x^2+1)^2 = 2x^3(x^2+1)^2 + 10x(x^2+1)^2 Assim tratamos cada parcela isoladamente.

Passo 3

Para a primeira parcela, fazemos u = x^2+1, de modo que du = 2x,dx e 2x^3,dx = x^2cdot2x,dx = (u-1),du. Logo:
integral 2x^3(x^2+1)^2,dx = integral u-1u^2,du = integrall(1u - 1u^2r),du

Passo 4

Para a segunda parcela, com a mesma substituição u = x^2+1, temos du = 2x,dx e portanto 10x,dx = 5,du. Assim:
integral 10x(x^2+1)^2,dx = 5integral u^-2,du

Passo 5

Somando as duas integrais em u:
integral1u,du + 4integral u^-2,du = ln|u| + 4l(-u^-1r) + C = ln|u| - 4u + C
Voltando para x (lembrando que u = x^2+1>0), obtemos a forma final.

Passo 6

Substituindo de volta u = x^2+1 e lembrando que x^2+1>0, a resposta é obtida diretamente.

Resposta

ln(x^2+1) - 4x^2+1 + C

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