Calcule a integral.
integral x+16x^2+2 x-8 d x

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral x+16x^2+2x-8,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional e vamos usar decomposição em frações parciais, que começa factorizando o denominador.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)

Passo 3

A partir daí, escrevemos a fração como soma de termos mais simples:
x+16(x+4)(x-2) = Ax-2 + Bx+4

Passo 4

Multiplicando em ambos os lados por (x+4)(x-2) obtemos
x+16 = A(x+4)+B(x-2)

Passo 5

Agora igualamos coeficientes. Expandindo:
A(x+4)+B(x-2) = (A+B)x + (4A-2B)

Passo 6

Então temos o sistema
A+B = 1, 4A-2B = 16

Passo 7

Resolvendo o sistema, de A+B=1 vem A=1-B. Substituindo em 4A-2B=16:
4(1-B)-2B=16 Longrightarrow 4-6B=16 Longrightarrow B=-2,
e logo A=1-(-2)=3. Então a integral vira
integral (3x-2-2x+4)dx

Passo 8

Integramos cada termo usando que integral 1x-adx = ln|x-a|+C:
integral 3x-2dx = 3ln|x-2|, integral -2x+4dx = -2ln|x+4|

Resposta

3ln|x-2| - 2ln|x+4| + C

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