Questão: (4.0 pontos) Calcule as integrais:
; onde
está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência
e pelos eixos coordenados.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é o setor de uma circunferência de raio
no primeiro quadrante limitado pelos eixos coordenados. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e integração de funções radiais.
Passo 2
Como o integrando depende apenas de
e a região é um quarto de disco de raio
, usamos coordenadas polares:
,
e
. Em
, temos
e
. A integral fica
Passo 3
Começamos pela integral interna em
:
Fazemos a substituição
, de modo que
ou
. Isso dá
Passo 4
Agora integramos em
: