Questão: (4.0 pontos) Calcule as integrais:
integral duplaD e^-(x^2+y^2) d A; onde D está no primeiro quadrante e é limitada pela circunferência x^2+y^2=a^2 e pelos eixos coordenados.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaD e^-(x^2+y^2),dA, onde D é o setor de uma circunferência de raio a no primeiro quadrante limitado pelos eixos coordenados. O conteúdo é mudança para coordenadas polares e integração de funções radiais.

Passo 2

Como o integrando depende apenas de r^2 = x^2+y^2 e a região é um quarto de disco de raio a, usamos coordenadas polares: x = rcostheta, y = rsintheta e dA = r,dr,dtheta. Em D, temos 0 <= r <= a e 0 <= theta <= pi2. A integral fica
integraltheta=0^pi/2integralr=0^a e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 3

Começamos pela integral interna em r:
integral0^a e^-r^2r,dr
Fazemos a substituição u = r^2, de modo que du = 2r,dr ou r,dr = tfrac12 ,du. Isso dá
integral0^a e^-r^2r,dr = 12 integralu=0^a^2 e^-u,du = 12l[-e^-ur]0^a^2 = 12l(1 - e^-a^2r)

Passo 4

Agora integramos em theta:
integral0^pi/2 12l(1 - e^-a^2r) ,dtheta = 12l(1 - e^-a^2r) times pi2 = pi4l(1 - e^-a^2r)

Resposta

pi4l(1 - e^-a^2r)

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