Calcule:
integral 41+(2 x+1)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral 41+(2x+1)^2,dx. O conteúdo aqui é encontrar antiderivada de uma função no formato 1+u^2 via a fórmula integral du1+u^2=arctan(u)+C. Vamos usar substituição para deixar a integral nesse formato.

Passo 2

Vamos fazer a substituição u = 2x + 1. Então, derivando ambos os lados, temos du = 2,dx ou seja dx = tfracdu2. Essa mudança de variável simplifica o denominador.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos:
integral 41+(2x+1)^2,dx = integral 41+u^2 cdot du2 = 2 integral du1+u^2
Agora aplicamos a fórmula de antiderivada do arco-tangente: integral du1+u^2=arctan(u)+C.

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos u=2x+1. Assim, a integral vale
2arctan(u)+C = 2arctan(2x+1) + C

Resposta

2arctan(2x+1)+C

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