Calcule a integral.
44. integral tg x sec ^3 / 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral tan x,sec^3/2x,dx. O conteúdo aqui é integração por substituição em funções trigonométricas.

Passo 2

Observe que o integrando pode ser escrito como sec^3/2xcdottan x. Sabemos que a derivada de sec x é sec xtan x, então isso bate com parte do nosso integrando.
Fazemos a substituição u=sec x. Logo, derivando, du=sec xtan x,dx, o que implica tan x,dx=dusec x.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral tan x,sec^3/2x,dx = integral u^3/2cdotduu = integral u^1/2,du

Passo 4

Agora, basta integrar a potência de u:
integral u^1/2,du = u^3/2tfrac32 + C = 23u^3/2 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x: u=sec x, resultando em 23(sec x)^3/2+C.

Resposta

23sec^3/2x + C

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