Calcule a integral.
52.
SUBSTITUICÕES TRIGONOMÉTRICAS
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Calcule a integral.
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Calcule a integral.
Passo 1
E aí! Vamos resolver a integral
. Essa questão pertence à matéria de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de integração por partes ou substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Então,
. Isso pode parecer complicado, mas podemos simplificar usando identidades trigonométricas. Sabemos que
. Isso nos ajuda a reescrever a integral de uma forma mais fácil de integrar.
Passo 3
Vamos reescrever
como
. Expandindo isso, temos:
Agora, a integral fica:
Passo 4
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que
. Então:
Agora, para o termo
, vamos usar a mesma ideia:
Entretanto, isso pode complicar ainda mais. Uma abordagem melhor é usar substituição. Vamos deixar esse termo para depois e focar nos outros termos primeiro.
Passo 5
Juntando os resultados que já temos:
Simplificando:
Agora, para a integral de
, vamos aplicar uma redução usando uma identidade trigonométrica.
Passo 6
Vamos considerar a identidade:
Isso nos leva a uma equação que podemos resolver por partes ou usando redução. Para simplificar, podemos reconhecer que essa abordagem está nos retornando à integral original, o que indica que talvez precisamos reconsiderar nossa estratégia.
Passo 7
Uma alternativa é usar a identidade
diretamente na integral inicial:
Expandindo:
Como vimos anteriormente, isso nos retorna à situação anterior. Assim, uma abordagem mais eficiente é usar integração por partes.
Passo 8
Vamos usar a substituição
e
. Calculando
e
:
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Essa expressão ainda é complexa, indicando que precisamos de uma abordagem diferente. Para evitar complicações, podemos utilizar tabelas de integrais ou métodos avançados que estão além do escopo deste exercício.
Passo 9
Vamos resolver a integral
. Essa questão está relacionada à matéria de integrais envolvendo funções radicais, especificamente a integral de uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. Para resolver, vamos utilizar uma substituição trigonométrica.
Passo 10
Observamos que a expressão dentro da raiz é
, que se assemelha à identidade trigonométrica
. Vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Seja:
Isso implica que
.
Passo 11
Substituindo na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então a integral fica:
Passo 12
Para integrar
, usamos a identidade:
Portanto:
Integrando termo a termo:
Passo 13
Agora, voltamos à variável original
. Sabemos que
, então:
E:
Substituindo na expressão:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.