Questão 3. (2,5 pontos) Calcule as derivadas das funções
e calcule os limites abaixo:
.
Passo 1
Temos que calcular as derivadas das funções
e o limite
. O conteúdo envolve aplicação de regras de derivação e limites de funções exponenciais.
Passo 2
O enunciado não fornece nenhuma definição para as funções
cuja derivada deveria ser calculada. Portanto, não é possível aplicar as regras de derivação sem ter a expressão explícita de
.
Passo 3
Para calcular o limite, observamos que à medida que
temos
e
, resultando numa indeterminação do tipo
. Uma forma de resolver é reescrever como quociente usando a substituição:
Dessa forma temos
$$
x^2 e^{1/x} = \frac{1}{t^2} e^t.
$$
Quando ,
. Analisando o limite
, percebemos que a função exponencial cresce muito mais rápido que a função polinomial. Logo, o quociente tende a
.
Quando
Resposta
+∞