Calcule a integral.
48. integral0^4 raizx(4-x) d x

INTEGRACÃO DE FUNCÕES RACIONAIS POR FRACÕES PARCIAIS

9
Calcule a integral.
9. integral d xx^2-3 x-4

Passo 1

Resumo exercício 48: Calcular a integral definida integral0^4 raizx(4-x),dx. Vamos usar trigonometria e mudança de variável para resolver esta raiz quadrática.

Passo 2

Substituição para 48: Definimos x = 4sin^2theta, então dx = 8sinthetacostheta,dtheta e os limites mudam de x=0 para theta=0 e de x=4 para theta=pi/2. A raiz vira raiz4sin^2theta,(4-4sin^2theta)=4sinthetacostheta.
Inserindo na integral de 48 obtemos
integral0^pi/24sinthetacosthetacdot 8sinthetacostheta,dtheta = 32integral0^pi/2sin^2thetacos^2theta,dtheta

Passo 3

Usando identidade trigonométrica: sin^2thetacos^2theta=tfrac14sin^2(2theta) e depois sin^2u=tfrac1-cos(2u)2, a integral vira
32integral0^pi/2tfrac14sin^2(2theta),dtheta = 8integral0^pi/2sin^2(2theta),dtheta = 4integral0^pi/2(1-cos(4theta)),dtheta

Passo 4

Calculando a integral de 48:
4integral0^pi/2(1-cos(4theta)),dtheta = [4theta-sin(4theta)]0^pi/2 = 2pi

Passo 5

Resumo exercício 9: Calcular a integral indefinida integraldxx^2-3x-4. Vamos usar frações parciais.

Passo 6

Fatorando x^2-3x-4=(x-4)(x+1), escrevemos
1x^2-3x-4= Ax-4+ Bx+1
Resolvendo A+B=0 e A-4B=1 A=tfrac15, B=-tfrac15.

Passo 7

Integrando a expressão de 9:
integral1/5x-4,dx+integral-1/5x+1,dx=tfrac15ln|x-4|-tfrac15ln|x+1|+C=tfrac15lnl|tfracx-4x+1r|+C

Resposta

Integral 48: 2pi. Integral 9: tfrac15lnl|tfracx-4x+1r|+C.

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