Questão 4. (2,5 pontos) Considere a função
.
Encontre a concavidade e pontos de inflexão.
Encontre a concavidade e pontos de inflexão.
Passo 1
A questão pede para estudar a concavidade e achar pontos de inflexão de f(x)=
. O conteúdo aqui é derivadas de funções compostas e análise de concavidade via segunda derivada. Vamos precisar de f′(x) e f″(x) e depois estudar o sinal de f″(x).
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia. Se f(x)=
, então
Passo 3
Agora vamos à segunda derivada. Usamos derivação de quociente: se
e
, calculamos N′ e D′ e montamos
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Passo 5
Fazendo as contas e simplificando, obtemos
Passo 6
Para estudar a concavidade, observamos o sinal de f″(x). O numerador
é sempre não-positivo (zero só em x=0) e o denominador
tem sinal igual ao de
(pois
).
Logo: para x<1 o denominador é negativo e f″(x)>0 ⇒ concavidade para cima; para x>1 o denominador é positivo e f″(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
Logo: para x<1 o denominador é negativo e f″(x)>0 ⇒ concavidade para cima; para x>1 o denominador é positivo e f″(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
Passo 7
O sinal de f″ muda em x=1 (de + para −), indicando ponto de inflexão. Em x=0 não há troca de concavidade.
Resposta
Concavidade: f é côncava para cima em (-∞,1) e côncava para baixo em (1,∞). O único ponto de inflexão é em x=1, com f(1)=0, ou seja, (1,0).