Questão 4. (2,5 pontos) Considere a função f(x)=raiz[3]x^3-x^2.
Encontre a concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

A questão pede para estudar a concavidade e achar pontos de inflexão de f(x)= raiz[3]x^3 - x^2. O conteúdo aqui é derivadas de funções compostas e análise de concavidade via segunda derivada. Vamos precisar de f′(x) e f″(x) e depois estudar o sinal de f″(x).

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada usando a regra da cadeia. Se f(x)= (x^3 - x^2)^1/3, então
f'(x)=13(x^3 - x^2)^-2/3cdot(3x^2 - 2x)=3x^2 - 2x3,(x^3 - x^2)^2/3

Passo 3

Agora vamos à segunda derivada. Usamos derivação de quociente: se N=3x^2-2x e D=3(x^3-x^2)^2/3, calculamos N′ e D′ e montamos
f''(x)=N',D - N,D'D^2

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
N'=6x-2, D'=3cdot23(x^3-x^2)^-1/3(3x^2-2x)=2(3x^2-2x)(x^3-x^2)^-1/3

Passo 5

Fazendo as contas e simplificando, obtemos
f''(x)=-2x^29,(x^3-x^2)^5/3

Passo 6

Para estudar a concavidade, observamos o sinal de f″(x). O numerador -2x^2 é sempre não-positivo (zero só em x=0) e o denominador (x^3-x^2)^5/3 tem sinal igual ao de x-1 (pois x^3-x^2=x^2(x-1)).
Logo: para x<1 o denominador é negativo e f″(x)>0 ⇒ concavidade para cima; para x>1 o denominador é positivo e f″(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.

Passo 7

O sinal de f″ muda em x=1 (de + para −), indicando ponto de inflexão. Em x=0 não há troca de concavidade.

Resposta

Concavidade: f é côncava para cima em (-∞,1) e côncava para baixo em (1,∞). O único ponto de inflexão é em x=1, com f(1)=0, ou seja, (1,0).

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